8.4 ggT und kgV

Hinweis

Mache einen Haken, wenn du alle Aufgaben eines Lernpakets gelöst hast und lasse dir von deiner Fachlehrerin oder deinem Fachlehrer mit einem Stempel bestätigen, dass alles erledigt ist.

Teilziele: Los geht´s!

ggT

Ich weiß was ggT bedeutet und kann den Begriff erklären.

Ich kann den ggT mithilfe zweier Teilermengen bestimmen.

Ich kann den ggT mithilfe einer Primfaktorzerlegung bestimmen.

kgV

Ich weiß was kgV bedeutet und kann den Begriff erklären.

Ich kann das kgV mithilfe zweier Vielfachenmengen bestimmen.

Ich kann das kgV mithilfe einer Primfaktorzerlegung bestimmen.

Du brauchst:

Alles erledigt? Geh zu deiner Mathe-Lehrkraft für den Check-out-Stempel!

Gemeinsame Teiler und ggT

Beispiel:

Wir schauen uns die Teilermengen der Zahlen 18 und 24 an und markieren uns die gemeinsamen Teiler:

Manche Zahlen haben gemeinsame Teiler:

$T_{18} = {1; 2; 3; 6; 9; 18}$ $T_{24} = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}$

12

3

24

18

2

4

6

9

1

8

Die Zahlen 18 und 24 haben also folgende Teiler gemeinsam:

gT(18;24) = { ; ; ; }

1

Finde alle gemeinsamen Teiler der Zahlen 16 und 18. Stelle dazu wie oben zunächst die Teilermengen auf:

T_{16} =

T_{18} =

gemeinsame Teiler sind also:

größter gemeinsamer Teiler

Die größte Zahl der gemeinsamen Teiler zweier natürlichen Zahlen heißt größter gemeinsame Teiler (ggT).

ggT(18; 24) = 6 ggT(16; 18) =

2

Bearbeite im Arbeitheft auf Seite 34 die Aufgaben 2 a) - c)

Gemeinsame Vielfache und kgV

Beispiel:

Wir schauen uns die Vielfachenmengen der Zahlen 3 und 2 an und markieren uns die gemeinsamen Vielfachen:

Manche Zahlen haben gemeinsame Vielfache:

$V_{3} = {3; 6; 9; 12; 15; 18 : ...}$ $V_{2} = {2; 4; 6; 8; 10; 12; ...}$

3

12

10

15

4

6

...

2

9

...

18

8

...

Die Zahlen 2 und 3 haben also folgende Vielfachen gemeinsam:

gV(2;3) = { ; ; ; ; ...}

3

Finde alle gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 3 und 4. Stelle dazu wie oben zunächst die Vielfachenmengen auf:

V_{3} =

V_{4} =

gemeinsame Vielfache sind also:

kleinstes gemeinsames Vielfaches

Die kleinste Zahl der gemeinsamen Vielfachen zweier natürlichen Zahlen heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV).

kgV(2; 3) = 6 kgV(3; 4) =

4

Bearbeite im Arbeitheft auf Seite 33 die Aufgaben 1 a) - c)

ggT durch Primfaktorzerlegung bestimmen

ggT bei großen Zahlen mithilfe Primfaktorzerlegung bestimmen:

Wir wollen den größten gemeinsamen Teiler von ⁣60⁣ und ⁣252 bestimmen.

Da die Zahlen groß sind, ist es einfacher den ggT mit einer Primfaktorzerlegung zu bestimmen:

Du zerlegst ⁣60⁣ und ⁣252⁣ in Primfaktoren:

60 = 2⋅2⋅3⋅5 = $2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1}$

252⁣ = 2⋅2⋅3⋅3⋅7 = $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7^{1}$

Du erhältst den ggT, indem du die ⁣gemeinsam vorhandenen⁣ Primfaktoren multiplizierst:

ggT(60; 252)⁠ = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = $2^{2} \cdot 3$ = 12

Achte bei der Potenzschreibweise darauf, die gemeinsamen Primfaktoren jeweils ⁣in ihrer kleineren Potenz⁣ zu multiplizieren.

5

Bearbeite im Buch auf Seite 172 die Aufgaben 6 a) - c)

kgV durch Primfaktortzerlegung

kgV bei größeren Zahlen durch Primfaktorzerlegung bestimmen

Wir wollen das kleinste gemeinsame Vielfache von ⁣66⁣ und ⁣36 bestimmen.

Du zerlegst ⁣66⁣ und ⁣36⁣ in Primfaktoren:

66 = 2⋅3⋅11 = $2^{1} \cdot 3^{1} \cdot 1 1^{1}$

36 = 2⋅2⋅3⋅3 = $2^{2} \cdot 3^{2}$

Du erhältst das kgV, indem du ⁣alle vorkommenden⁣ Primfaktoren miteinander multiplizierst, jeweils in ihrer ⁣höchsten Potenz:

kgV⁠(66; 36)⁠ = $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 11$ = 396

6

Bearbeite im Buch auf Seite 172 die Aufgaben 6 g) - i)

bycs - bettermarks

7

Bearbeite auf Bettermarks die To-dos:
5 Gemeinsame Teiler und Vielfache

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8.4 ggT und kgV

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Ge­mein­sa­me Tei­ler und ggT

Ge­mein­sa­me Viel­fa­che und kgV

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kgV durch Prim­fak­tort­zer­le­gung

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