TitelÜbungen "Durchschnittswerte"
AutorFrank Mallon
veröffentlicht29.03.2021
FachMathematik

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Hinweis zum Einsatz im Unterricht

Die Überschrift ist falsch. Es müsste Mittelwerte statt Durchschnittswerte heißen.

Die Übungen sind (thematisch) eher für ältere Schüler geschrieben, wobei der Inhalt bereits von Sechstklässlern bewältigt werden könnte. Daher empfehle ich sie zum Wiederholen von Mittelwerten in Klasse 8 oder höher einzusetzen.

Übungen zur Bestimmung des Mittelwertes

Vervollständige die folgenden drei Definitionen. Probiere es zu erst ohne in deine Aufzeichnungen zu gucken. Überprüfe anschließend, ob deine Lösung korrekt ist.

a) Der der geordneten Daten oder Messwerte ist der liegende Wert. Bei einer Anzahl an Werten wird der der beiden liegenden Werte gebildet.

b) Der der verschiedenen Daten oder Messwerte wird berechnet, indem man die durch die teilt. Er heißt auch das .

c) Der gibt denjenigen Wert der Daten oder Messwerte an, der vorkommt.

Jeder dieser drei Werte kann als bezeichnet werden.

In einem Unternehmen arbeiten 10 Personen auf 450€-Basis. Das heißt, jede dieser Personen verdient im Monat 450€, arbeitet aber nur ein paar Stunden in der Woche.

Es wird eine weitere Person eingestellt. Diese Person arbeitet 40 Stunden pro Woche und verdient 3.200€. Berechne den Mittelwert des Verdienstes dieser elf Personen als arithmetisches Mittel, als Median und als Modalwert!
Insgesamt arbeiten in dem gleichen Unternehmen 20 Personen. Die 9 verbleibenden Personen arbeiten im Durchschnitt für 3.000€ pro Monat. Berechne nun wieder alle drei möglichen Mittelwerte!
Wie begründest du den Sinn der drei verschiedenen Arten des Mittelwerts?

Der Benzinverbrauch zweier Autos vom Typ A und B soll getestet werden. Folgende Werte (in Liter/100 km) wurden gemessen:

Ordne die Beobachtungswerte von Typ A und Typ B jeweils der Größe nach.
Bestimme jeweils den Median. Welches Auto ist im Verbrauch günstiger?
Berechne für jeden Fahrzeugtyp den durchschnittlichen Verbrauch. Welches Auto ist im Verbrauch günstiger?
Ist der Median oder das arithmetische Mittel hier besser geeignet, um den Durchschnittswert zu bestimmen? Begründe kurz!
Um welchen Wert weichen die einzelnen Werte jeder Liste von ihrem arithmetischen Mittel ab? Bilde den Mittelwert dieser Abweichungen (=mittlere Abweichung), indem Du alle Abweichungen addierst und durch die Anzahl der Testergebnisse bei jedem Auto teilst.

Typ A	8,0	7,0	7,4	7,8	8,2	8,6	9,3	8,4	8,3	7,9	8,2
Typ B	8,7	7,6	7,8	7,7	7,9	8,1	7,9	7,8	8,5	8,5	8,4	8,3

Unter dem Begriff Spannweite versteht man den Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Messwert. Schauen wir uns beispielsweise die zweite Zeile der Tabelle in Aufgabe 3 an. Hier ist der kleinste Wert für das Auto vom Typ B 7,6 und der größte Wert 8,7. Die Spannweite beträgt also 8,7-7,6=1,3.

Bestimme die Spannweite für das Auto vom Typ A (aus Aufgabe 3).
Bestimme die Spannweite für das Gehalt in Aufgabe 2a.

Die Körpergewichte einer Klasse sind nach Geschlechtern aufgeteilt erfasst worden:

Bestimme jeweils den Median, den Modalwert und das arithmetische Mittel.
Bestimme jeweils die Spannweite.
In der obersten Zeile der Tabelle steht die Reihenfolge der Werte. Diese Werte stellen die x-Werte eines Punktes dar. Die y-Werte sind entweder die Gewichte der weiblichen Schülerinnen bzw. die Gewichte der männlichen Schüler. Also, zum Beispiel wollen wir die Gewichte der Schülerinnen einzeichnen. Das heißt bei x=1 ist der y-Wert=52, weil in der Tabelle bei 1die Zahl 52 steht. Bei x=2 ist also y=55.
Zeichne die Gewichtspunkte für alle Schülerinnen in ein Koordinatensystem.
Nimm eine andere Farbe und zeichne die Gewichte für alle Schüler in das gleiche Koordinatensystem.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
w	52	55	63	63	63	57	58	55	51	60	64	51	54	59
m	67	60	70	78	84	68	67	70	73	72	68	75	76

Bei einer Geschwindigkeitskontrolle der Polizei wurden insgesamt 150 Messungen durchgeführt. Du weißt, dass der kleinste gemessene Wert 43kmh und die Durchschnittsgeschwindigkeit 50kmh beträgt. Entscheide jeweils mit einer kurzen Begründung, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Der größte gemessene Wert ist 57km/h.
Ohne weitere Angaben kann keine weitere Aussage gemacht werden.
Die angegebene Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Modalwert.
Die Angabe des Medians würde bei dieser Aufgabe keinen Sinn ergeben.
Am sinnvollsten ist bei dieser Aufgabe das arithmetische Mittel.

In einer Firma werden monatlich folgende Gehälter ausgezahlt:
Auszubildender: 600€
Mechaniker: 1.800€
Kauffrau:1.900€
Meister: 2.800€
Firmeninhaber: 6.900€

Bestimme den Mittelwert. Nutze die sinnvollste Berechnungsmethode. Trage den Mittelwert in der nächsten Aufgabe ein.
Der Firmeninhaber behauptet: Das Durchschnittseinkommen in meinem Betrieb beträgt _________€. Meine Mitarbeiter verdienen also nicht schlecht. Was hältst du von dieser Aussage?