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TitelPotenzrechenregeln
AutorSimon Brückner
veröffentlicht23.11.2021
FachMathematik

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Potenzrechenregeln

Potenz

Für $n \in N$ erhält man $a^{n}$ indem man $a$ n-mal mit sich selbst multipliziert:

$a^{n} = n - ma l a \cdot \dots \cdot a$

Bsp.:

1) $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

2) $3^{2} = 3 \cdot 3$

3) $(- 3)^{2} = (- 3) \cdot (- 3) = 9$

4) $0, 2^{4} = 0, 0016$

Potenzen binden stärker als Rechen- und Vorzeichen:

5) $- 3^{2} = - 3 \cdot 3 = - 9$

6) $3 \cdot 4^{2} = 3 \cdot 16 = 48$

Berechnen Sie im Kopf! Vereinfachen Sie so weit wie möglich!

$4^{2} = 16$
$8^{2} = 64$
$4^{4} = 256$
$(- 5)^{2} = 25$
$- 5^{2} = - 25$

$(- 5)^{3} = - 125$
$0, 5^{3} = 0, 125$
$5 0^{3} = 125000$
$(\frac{2}{5})^{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125}$

Tipp: Nutzen Sie eine Merkhilfe, wenn Sie sich nicht sicher sind:

Für

a, b \in R

und

n, m \in N

gelten bestimmte Potenzrechenregeln. Ergänzen Sie diese!

(A) $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$
(B) $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$
C) $(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$
D) $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
E) $a^{\frac{1}{n}} = n a$

Notieren Sie jeweils auf dem Gleichheitszeichen, welche Regel Sie anwenden und ergänzen Sie die Beispiele!

$3^{- 2} = (D) \frac{1}{9}$
$4 16 x^{8} = (H) 2 x^{2}$
$(\frac{2}{3})^{3} = (G) \frac{8}{27}$
$a^{3} \cdot a^{6} = (A) a^{9}$
$(x^{2})^{4} = (C) x^{8}$
$3^{x} \cdot 2^{x} = (B) 6^{x}$
$8^{\frac{1}{3}} = (E) 38 = 2$
$5^{4} : 5^{2} = (I) 5^{2} = 25$
$3 64 x^{8} = (H) 4 3 x^{8} = (E) / (C) 4 x^{\frac{8}{3}}$

Aus diesen Regeln kann man weitere Regeln herleiten:

F) $a^{0} = 1$
$a^{1} = a$
G) $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
H) $n a \cdot b = n a \cdot n b$
I) $a^{n} : a^{m} = a^{n - m}$

Berechnen Sie ohne Hilfsmittel!

$2^{2}$
$(- 3)^{4}$
$4^{5}$
$0, 8^{2}$
$2^{3}$
$0, 9^{2}$
$(- 2)^{5}$
$(- 2)^{3}$
$1, 3^{2}$
$(- 3)^{3}$
$4^{2}$
$(- 2)^{2}$

Quadratzahlen

$1^{2} = 11 1^{2} = 121$

$2^{2} = 41 2^{2} = 144$

$3^{2} = 91 3^{2} = 169$

$4^{2} = 161 4^{2} = 196$

$5^{2} = 251 5^{2} = 225$

$6^{2} = 361 6^{2} = 256$

$7^{2} = 491 7^{2} = 289$

$8^{2} = 641 8^{2} = 324$

$9^{2} = 811 9^{2} = 361$

$1 0^{2} = 1002 0^{2} = 400$

$5^{- 3} = \frac{1}{125}$
$4^{- 2} = \frac{1}{16}$
$(\frac{1}{4})^{- 2} = 16$
$(\frac{1}{5})^{- 2} = 25$
$4^{- 3} = \frac{1}{64}$
$(\frac{1}{2})^{- 2} = 4$
$(\frac{1}{2})^{- 3} = 8$
$(\frac{1}{4})^{- 4} = 256$
$3^{- 1} = \frac{1}{3}$
$4^{- 1} = \frac{1}{4}$
$(\frac{1}{4})^{- 3} = 64$
$(\frac{1}{5})^{- 1} = 5$

Kubikzahlen

$1^{3} = 11 1^{3} = 1331$

$2^{3} = 81 2^{3} = 1728$

$3^{3} = 271 3^{3} = 2197$

$4^{3} = 641 4^{3} = 2744$

$5^{3} = 1251 5^{3} = 3375$

$6^{3} = 2161 6^{3} = 4096$

$7^{3} = 3431 7^{3} = 4913$

$8^{3} = 5121 8^{3} = 5832$

$9^{3} = 7291 9^{3} = 6859$

$1 0^{3} = 10002 0^{3} = 8000$

Erklären Sie, welche häufigen Fehler hier jeweils gemacht wurden und korrigieren Sie.

$2^{- 3} = - 8$
$4 x^{6} = 2 x^{6}$

$2^{3} \cdot 2^{4} = 4^{7}$
$(4^{3})^{2} = 4^{9}$

$2^{3} = 6$
$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{12}$

Berechnen Sie im Kopf!

$3^{2} \cdot 6^{2} = 1 8^{2} = 324$
$3^{5} : 3^{3} = 3^{5 - 3} = 3^{2} = 9$
$1 2^{- 2} = \frac{1}{1 2 ^{2}} = \frac{1}{144}$
$0, 0 4^{3} = (\frac{4}{100})^{3}$
$= \frac{64}{1000000} = 0, 000064$

$0, 2 5^{- 0, 5} = \frac{1}{4}^{- 1} = (\frac{1}{2})^{- 1} = 2$
$3 1 3^{6} = 1 3^{\frac{6}{3}} = 1 3^{2} = 169$
$(\frac{3}{4})^{2} = \frac{3 ^{2}}{4 ^{2}} = \frac{9}{16}$

Auch wenn man einen Ausdruck nicht komplett ohne Wurzel schreiben kann, kann es helfen, die Wurzel teilweise zu ziehen.
Bsp:

72 - 2 = 9 \cdot 4 \cdot 2 - 2 = 3 \cdot 2 \cdot 2 - 2 = 62 - 2 = 52

Vereinfachen Sie entsprechend!

$354 = 3 2 \cdot 27 = 332$
$\frac{1}{2} + 2 = \frac{2}{4} + 2$ $= \frac{2}{2} + 2 = \frac{3}{2} 2$

$34 \cdot 2 = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}}$

Zum Weiterlesen:

Primfaktorzerlegung

https://youtu.be/6gXQUCzv9hM